Equations algébriques. Exercices et problèmes corrigés PDF

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George Boole de l’existence de structures algébriques permettant de définir un  calcul de vérité . Le calcul de Boole véhiculait l’idée apparemment paradoxale, mais qui devait s’avérer spectaculairement fructueuse, que le langage mathématique pouvait se définir mathématiquement et devenir un objet d’étude pour les mathématiciens. Toutefois il ne permettait pas encore de résoudre les problèmes de fondements. En 1929 Kurt Gödel montre dans sa thèse de doctorat son théorème de complétude qui énonce le succès de l’entreprise de formalisation des mathématiques : tout raisonnement mathématique peut en principe être formalisé dans le calcul des prédicats. Ce résultat négatif n’a toutefois pas arrêté l’essor de la logique mathématique. Le résultat le plus spectaculaire de l’après-guerre est dû à Paul Cohen qui démontre en utilisant la méthode du forcing l’indépendance de l’hypothèse du continu en théorie des ensembles, résolvant ainsi le 1er problème de Hilbert. L’intérêt principal de la logique réside dans ses interactions avec d’autres domaines des mathématiques et les nouvelles méthodes qu’elle y apporte.

La théorie de la calculabilité est l’un des fondements de l’informatique théorique. La formalisation des mathématiques dans des systèmes logiques, qui a suscité en particulier les travaux de Whitehead et Russell, a été l’une des grandes motivation du développement de la logique mathématique. L’ensemble des théorèmes du calcul des prédicats n’est pas calculable, c’est-à-dire qu’aucun algorithme ne permet de vérifier si un énoncé donné est prouvable ou non. Il existe, cependant un algorithme qui étant donnée une formule du premier ordre en trouve une preuve en un temps fini s’il en existe une, mais continue indéfiniment sinon. Tout théorème purement logique peut être démontré en n’utilisant que des propositions qui sont des sous-formules de son énoncé. En 1990, cette correspondance est étendue à la logique classique.

La mécanisation et donc la formalisation complète de théorème de mathématiques comme le Théorème des quatre couleurs ou le Théorème de Feit-Thompson. Un système logique ou système de déduction est un système formel constitué de trois composantes. L’étude de logique du point des formules et des expressions s’appelle la syntaxe. Elle a d’abord servi à  définir  la vérité. Cependant, la sémantique ne sert pas qu’à  définir  la vérité.

Par exemple, la sémantique dénotationnelle est une interprétation, non des formules, mais des déductions visant à capturer leur contenu calculatoire. Deux systèmes de déduction peuvent être équivalents au sens où ils ont exactement les mêmes théorèmes. On démontre cette équivalence en fournissant des traductions des déductions de l’un dans les déductions de l’autre. Alors que la théorie des nombres démontre des propriétés des nombres, on notera la principale caractéristique de la logique en tant que théorie mathématique : elle  démontre  des propriétés de systèmes de déduction dans lesquels les objets sont des  théorèmes .